大相撲の巴戦は公平か？という話がありました。
巴戦とは、３人の力士の成績が並んだ場合行われる優勝決定戦。
過去の、平成5年7月場所の曙・貴ノ花・若ノ花が有名。
くじを引いて対戦相手を決める。
まず、くじで選ばれた２人が対戦し、
勝った力士が残りの１人と対戦する。
この勝ち抜き戦を繰り返し、２連勝した力士が優勝となる。
３人の実力が互角で、それぞれ２分の１の確率で勝つと仮定すると、
「最初に土俵に上がらない控えの力士が少しだけ不利になる」という。
一体どういうことか？
無数にある勝敗の組み合わせを樹形図で表し、体系的に考える。
最初にＡが勝った時の、もっとも早い決着は、Ａの２連勝で、その確率は４分の１。
それ以外にもＡが優勝する道はある。
例えば、初戦からの勝者がＡ→Ｃ→Ｂ→Ａ→Ａと推移した場合。
この確率は、２分の１を５回かけた32分の１。
さらに、勝負がもつれると図が延々と続く。
下段は、最初にＢが勝った時の図。
ＡＢＣの優勝確率をそれぞれ、次のように表す。
Ａの優勝確率を求めてみる。
上の段にあるＡの優勝確率を足したものと、同じく下の段のもの。
実はこれ、どちらも、１つ前の８分の１倍ずつという等比数列の和になっている。
ここで、登場するのが、無限に続く等比数列を全て足した和の公式。
これに当てはめてみると、
上の段が７分の２、下の段が14分の１となる。
つまり、Ａの優勝確率は、その２つを足した、14分の５となる。
さらに、ＡとＢは対象の関係なので、Ｂの優勝確率も同じく14分の５。
つまり、Ｃの優勝確率は14分の４となるので、
Ａ・Ｂと比べて少し不利となる。
